Zastosowanie rachunku wariacyjnego do minimalizacji zniekształceń w odwzorowaniach kartograficznych

Paweł Pędzich
Politechnika Warszawska
Wydział Geodezji i Kartografii
Zakład Kartografii
Polska

Katarzyna Strychalska
Politechnika Warszawska
Wydział Geodezji i Kartografii
Zakład Kartografii
Polska

Streszczenie

Minimalizacja zniekształceń odwzorowawczych jest podstawowym problemem kartografii matematycznej. Do opracowania map danego obszaru dobiera się takie odwzorowania, które mają niewielkie zniekształcenia odwzorowawcze w kartowanym obszarze. Często też dobiera się odwzorowania w zależności od celu jakiemu służy dana mapa, np. w geodezji stosuje się odwzorowania równokątne, ponieważ wykonuje się pomiary kątowe, w statystyce do prezentacji danych stosuje się odwzorowania równopolowe, ponieważ dane odniesione są do pól powierzchni. Przyjęcie kryterium zachowania bez zniekształceń jednej wielkości (np. kątów, pól powierzchni) powoduje znaczne zniekształcenia innego typu. Przykładowo odwzorowania równopolowe posiadają znaczne zniekształcenia kątów, a odwzorowania równokątne znaczne zniekształcenia pól powierzchni. Dlatego też interesującym celem prac badawczych z zakresu kartografii matematycznej wydaje się poszukiwanie odwzorowań takich, które nie są ani równokątne ani równopolowe, lecz posiadają niewielkie zniekształcenia obu typów. Odwzorowania takie mogą znaleźć zastosowanie w opracowaniu map przeglądowych np. w systemach nawigacji samochodowej lub internetowych serwisach o charakterze lokalizacyjnym typu Google Maps. Powszechnie stosowane w tego typu systemach odwzorowanie Merkatora nie jest dobrym rozwiązaniem ponieważ daje fałszywy obraz rzeczywistości.
Autorzy artykułu przedstawili możliwości zastosowania rachunku wariacyjnego do minimalizacji zniekształceń odwzorowawczych. Rachunek wariacyjny jest jedną z metod optymalizacji stosowaną w wielu badaniach naukowych, zajmuje się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych. Zastosowanie rachunku wariacyjnego pozwala na opracowanie odwzorowań kartograficznych, w których w równym stopniu minimalizuje się zniekształcenia kątów i pól powierzchni.

Słowa kluczowe:

odwzorowania kartograficzne; rachunek wariacyjny; minimalizacja zniekształceń odwzorowawczych

Pełny tekst:

PDF

Bibliografia

van Brunt B., 2004: The calculus of variations. Springer-Verlag New York.

Bugajewski L., Snyder J., 1995: Map projections – a reference manual. Taylor&Francis.

Bugajewski L., Warchiramiejewa L., Kazakowa Z., 1986: Matematyczeska kartografia, Niedra Moskwa.

Canters F., 2002: Small-scale map projection design, [In:] Fisher, P., Raper, J. (Eds.), Research Monographs in Geographic Information Systems. London and New York: Taylor & Francis.

Canters, F., 2007: Low-error map projections for pan-European equal-area mapping. Proceedings of the 23th International Cartographic Conference, August 4-10, Moscow, Russia, CD-ROM.

Fenna D., 2007: Cartographic science – a compedium of map projections with derivations. CRC Press.

Gajderowicz I., 2009: Odwzorowania kartograficzne. Podstawy. Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie.

Gdowski B., 1967: Kryterium Airy i Fioriniego oraz ich uogólnienia w zastosowaniu do klasy normalnych odwzorowań azymutalnych. Geodezja i Kartografia rocznik XVI, nr 4.

Grafarend E., Krumm F., 2006: Map Projections – Cartographic information systems. Springer.

Grzymkowski R., Pochciał J., 2009: Elementy rachunku wariacyjnego. Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jana Skalmierskiego, Gliwice.

Latuszek K., 2013: Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzorowań kartograficznych o możliwie najlepszym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych – na przykładzie odwzorowania azymutalnego. Roczniki Geomatyki t. 11, z. 5(62): 75-85, PTIP Warszawa.

Łodygowski T., Kąkol W., 2003: Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach inżynierskich. http://www.ikb.poznan.pl/almamater/biblioteka/podreczniki_akademicki/tl-wk_metoda_elementow_skonczonych/

Miller O., 1953: A new conformal projection for Europe and Asia [sic! powinno być Afryka],

Geographical Review vol. 43: 405-409.

McQuarrie D., 2006: Matematyka dla przyrodników i inżynierów. Wydawnictwo Naukowe PWN.

Panasiuk J., Balcerzak J., U. Pokrowska, 1995: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań kartograficznych. Oficyna Wydawnicza Politechnika Warszawska, Warszawa.

Pędzich P., 2002: Opracowanie odwzorowania kartograficznego o optymalnym rozkładzie zniekształceń według kryterium Czebyszewa dla ograniczonego obszaru powierzchni elipsoidy. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa.

Pędzich P., 2008: Wybrane aspekty konstruowania odwzorowań kartograficznych o możliwie najmniejszych zniekształceniach odwzorowawczych. Roczniki Geomatyki t. 6, z. 4: 89-101, PTIP Warszawa.

Scheid F., 1989: Shaum’s outline of theory and problems of numerical analysis. McGraw-Hill Companies.

Snyder J.P., 1987: Map projections – a working manual. United States Government Printing Office, Washington.