Optymalizacja odwzorowania wielostożkowego Polski według kryterium Airy'ego

Kamil Jan Latuszek
Politechnika Warszawska
Wydział Geodezji i Kartografii
Zakład Kartografii
Polska

Streszczenie

Jednym z podstawowych zadań kartografii matematycznej jest poszukiwanie odwzorowań o minimalnym całkowitym poziomie zniekształceń. Kryterium Airy'ego postuluje minimalizację kwadratów odchyleń od jedności ekstremalnych skal długości dla całego odwzorowywanego obszaru, co odpowiada minimalizacji zniekształceń długości we wszystkich kierunkach. W artykule przedstawiono zoptymalizowane ze względu na kryterium Airy'ego odwzorowanie wielostożkowe obszaru Polski.
Przedstawiono trzy różne modele parametryczne odwzorowania wielostożkowego. Dla ustalonej liczby parametrów, modele te zostały zoptymalizowane z wykorzystaniem zmodyfikowanego algorytmu optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada. Modyfikacja polegała na rozszerzeniu algorytmu Neldera-Meada o operator mutacji rozkładem normalnym, znany z algorytmów ewolucyjnych. Pozwoliło to zapobiec przedwczesnej zbieżności algorytmu. Funkcja celu wyznaczana została jako wynik całkowania numerycznego. Zbadana została regularność zoptymalizowanych odwzorowań oraz zilustrowany został rozkład zniekształceń odwzorowawczych w postaci interpolowanych numerycznie ekwideformat.
Przyjmując za kryterium stopu działania algorytmu liczbę obliczeń wartości funkcji celu, wybrane parametryzacje zostały porównane ze względu na osiąganą średnio przeciętną wartość zniekształceń długości w badanym obszarze. Przeciętna wartość zniekształceń długości rozumiana jest tutaj jako podniesione do kwadratu, uśrednione i spierwiastkowane zniekształcenia długości w kierunkach skal ekstremalnych – jest to odpowiednik minimalizowanej miary zniekształceń w kryterium Airy'ego.

Słowa kluczowe:

kartografia matematyczna; odwzorowania wielostożkowe; minimalizacja zniekształceń odwzorowawczych; kryterium Airy’ego; algorytm Neldera-Meada

Pełny tekst:

PDF

Bibliografia

Canters F., 2002: Small-scale map projection design, Londyn, Nowy York: Taylor & Francis.

Latuszek K., 2013: Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzorowań kartograficznych o możliwie najlepszym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych – na przykładzie odwzorowania azymutalnego. Roczniki Geomatyki t. 11, z. 5(62): 75-85, PTIP Warszawa.

Panasiuk J., Balcerzak J., Pokrowska U., 1999: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań kartograficznych, Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej.

Pędzich, P., 2008: Wybrane aspekty konstruowania odwzorowań kartograficznych o możliwie najmniejszych zniekształceniach odwzorowawczych, Roczniki Geomatyki, t. 6, z. 4: 89-101, PTIP Warszawa.

Snyder J.P., 1987: Map projections – a working manual, Waszyngton: United States Government Printing Office, U.S. Geological Survey Professional Paper, 1395.